可分空間の性質と宇宙空間 (cosmic space) および Arhangel'skii の定理の完全な証明

証明:
$(X, d)$ を可分な距離空間とする。$X$ は可分であるから、可算な稠密部分集合 $D = \{x_1, x_2, x_3, \dots \}$ を持つ。$Y \subset X$ を任意の部分集合とし、$Y$ に相対位相を入れた部分空間が可分であることを示す。

各 $n, m \in \mathbb{N}$ に対して、$X$ における点 $x_n$ を中心とする半径 $1/m$ の開球を $B(x_n, 1/m) = \{x \in X \mid d(x, x_n) < 1/m\}$ とする。この開球と $Y$ の交わり $B(x_n, 1/m) \cap Y$ を考える。もし $B(x_n, 1/m) \cap Y \neq \varnothing$ であれば、選択公理によりその交わりの中から要素を一つ選び、それを $y_{n, m}$ とする。

選んだ要素からなる集合 $E$ を以下のように定義する： $$E = \{ y_{n, m} \in Y \mid n, m \in \mathbb{N}, \ B(x_n, 1/m) \cap Y \neq \varnothing \}$$ 添字が自然数のペア $(n, m) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}$ であり、$\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ は可算集合であるため、写像 $(n, m) \mapsto y_{n, m}$ の像である集合 $E$ は可算集合である。

次に、$E$ が $Y$ において稠密であることを示す。任意の $y \in Y$ と任意の $\epsilon > 0$ をとる。$1/m < \epsilon / 2$ となるような十分大きい自然数 $m \in \mathbb{N}$ を選ぶ。$D$ は $X$ で稠密であるから、$y$ の $1/m$ 近傍内に $D$ の元が存在する。すなわち、ある自然数 $n \in \mathbb{N}$ が存在して $d(y, x_n) < 1/m$ となる。

このとき $y \in B(x_n, 1/m)$ であり、かつ仮定より $y \in Y$ であるから、$y \in B(x_n, 1/m) \cap Y$ となる。したがって $B(x_n, 1/m) \cap Y \neq \varnothing$ であり、定義より $y_{n, m} \in E$ が存在する。

距離関数 $d$ の三角不等式および対称性を用いると、$y$ と $y_{n, m}$ の距離は次のように評価できる： $$d(y, y_{n, m}) \le d(y, x_n) + d(x_n, y_{n, m})$$ ここで、$d(y, x_n) < 1/m$ であり、また $y_{n, m} \in B(x_n, 1/m)$ より $d(x_n, y_{n, m}) < 1/m$ であるから、 $$d(y, y_{n, m}) < \frac{1}{m} + \frac{1}{m} = \frac{2}{m} < \epsilon$$ が成り立つ。よって、$Y$ の任意の点 $y$ の任意の $\epsilon$ 近傍内に $E$ の元が存在するため、$E$ は $Y$ で稠密である。$Y$ は可算稠密部分集合 $E$ を持つため、可分である。(証明終)

証明:
添字集合を $I$ とし、$|I| \le \mathfrak{c}$ とする。$I$ は実数 $\mathbb{R}$ の部分集合への単射が存在するため、一般性を失わず $I = \mathbb{R}$ として証明する。各 $\alpha \in \mathbb{R}$ について、$X_\alpha$ を可分な位相空間とし、その可算稠密部分集合を $D_\alpha = \{ x_\alpha^{(1)}, x_\alpha^{(2)}, x_\alpha^{(3)}, \dots \}$ とする。直積空間を $X = \prod_{\alpha \in \mathbb{R}} X_\alpha$ とする。

証明の要として、添字集合である $\mathbb{R}$ 自身に通常のユークリッド位相を考える。$\mathbb{R}$ には、両端が有理数であるような開区間の集合 $\mathcal{B}$ が存在する。有理数は可算であるから $\mathcal{B}$ も可算集合であり、$\mathbb{R}$ の可算な開基となる。$\mathcal{B}$ の要素からなる、「互いに素な有限個の開区間の集まり」の全体を $\mathcal{F}$ とする。$\mathcal{B}$ が可算であるため、その有限部分集合全体の部分集合である $\mathcal{F}$ もまた可算集合である。

直積空間 $X$ の元 $z \in X$ を一つ任意に固定する。各 $V = \{V_1, V_2, \dots, V_k\} \in \mathcal{F}$（互いに素な開区間の組）と、各 $m = (m_1, m_2, \dots, m_k) \in \mathbb{N}^k$ に対して、新しい点 $y_{V, m} \in X$ を次のように定義する： $$y_{V, m}(\alpha) = \begin{cases} x_\alpha^{(m_j)} & (\text{ある } j \text{ について } \alpha \in V_j \text{ の場合}) \\ z(\alpha) & (\text{それ以外の場合}) \end{cases}$$ $V_j$ は互いに素であるため、この関数 $y_{V, m}$ は well-defined である。

構成した点の集合を $E$ とする： $$E = \{ y_{V, m} \in X \mid V \in \mathcal{F}, m \in \mathbb{N}^{|V|} \}$$ $\mathcal{F}$ が可算であり、各 $V$ に対して $m$ の選び方（$\mathbb{N}^{|V|}$）も可算であるため、可算集合の可算和として構成される $E$ は可算集合である。

$E$ が $X$ において稠密であることを示す。直積位相の任意の空でない基本開集合 $U \subset X$ をとる。直積位相の定義より、$U$ は有限個の座標にのみ制約を持つ。すなわち、相異なる有限個の実数 $\alpha_1, \dots, \alpha_k \in \mathbb{R}$ と、各 $X_{\alpha_j}$ における空でない開集合 $O_j$ が存在して、次のように書ける： $$U = \{ y \in X \mid y(\alpha_1) \in O_1, \dots, y(\alpha_k) \in O_k \}$$ $\mathbb{R}$ は Hausdorff 空間であるため、相異なる点 $\alpha_1, \dots, \alpha_k$ をそれぞれ含むような、互いに素な開区間 $V_1, \dots, V_k \in \mathcal{B}$ を選ぶことができる。これにより $V = \{V_1, \dots, V_k\} \in \mathcal{F}$ を固定する。

各 $j \in \{1, \dots, k\}$ について、$D_{\alpha_j}$ は $X_{\alpha_j}$ で稠密であるため、$O_j \cap D_{\alpha_j} \neq \varnothing$ である。すなわち、ある自然数 $m_j \in \mathbb{N}$ が存在して $x_{\alpha_j}^{(m_j)} \in O_j$ となる。これで $m = (m_1, \dots, m_k)$ が固定できる。

このように選んだ $V$ と $m$ から点 $y_{V, m} \in E$ が定まる。この $y_{V, m}$ の $\alpha_j$ 座標を評価すると、$\alpha_j \in V_j$ であるため、定義より $y_{V, m}(\alpha_j) = x_{\alpha_j}^{(m_j)}$ となる。したがって $y_{V, m}(\alpha_j) \in O_j$ がすべての $j=1, \dots, k$ で成り立つ。これは $y_{V, m} \in U$ であることを意味する。

ゆえに $U \cap E \neq \varnothing$ であり、$E$ は $X$ で可算稠密部分集合となる。したがって $X$ は可分である。(証明終)

証明:
$X$ を宇宙空間とし、$\mathcal{N}$ をその可算なネットワークとする。$Y \subset X$ を任意の部分空間とする。部分集合族 $\mathcal{N}_Y$ を次のように定める： $$\mathcal{N}_Y = \{ N \cap Y \mid N \in \mathcal{N} \}$$ $\mathcal{N}$ は可算であるから、$\mathcal{N}_Y$ も可算族である。任意の $y \in Y$ と $Y$ における開近傍 $U_Y$ をとる。相対位相の定義より、$X$ の開集合 $U$ が存在して $U_Y = U \cap Y$ と書ける。
$\mathcal{N}$ は $X$ のネットワークであるから、$y \in N \subset U$ を満たす $N \in \mathcal{N}$ が存在する。各辺と $Y$ の交わりをとると、$y \in N \cap Y \subset U \cap Y = U_Y$ となる。$N \cap Y \in \mathcal{N}_Y$ であるから、$\mathcal{N}_Y$ は $Y$ の可算なネットワークである。よって $Y$ は宇宙空間である。(証明終)

証明:
$X$ を宇宙空間とし、$Y$ を任意の位相空間、$f: X \to Y$ を連続かつ全射な写像とする。$Y$ が宇宙空間であることを示す。

$X$ は宇宙空間であるから、可算なネットワーク $\mathcal{N}$ を持つ。$Y$ の部分集合族 $\mathcal{M}$ を次のように定義する： $$\mathcal{M} = \{ f(N) \subset Y \mid N \in \mathcal{N} \}$$ $\mathcal{N}$ は可算集合であるから、写像 $N \mapsto f(N)$ による像 $\mathcal{M}$ もまた可算な部分集合族である。

この $\mathcal{M}$ が $Y$ のネットワークであることを示す。$Y$ の任意の開集合 $V$ と、任意の要素 $y \in V$ をとる。$f$ は全射であるから、$f(x) = y$ となるような $X$ の要素 $x \in X$ が存在する。

$f$ は連続写像であるため、$V$ の逆像 $f^{-1}(V) = \{z \in X \mid f(z) \in V\}$ は $X$ の開集合である。また、$f(x) = y \in V$ より、$x \in f^{-1}(V)$ が成り立つ。

$\mathcal{N}$ は $X$ のネットワークであるから、点 $x$ と開集合 $f^{-1}(V)$ に対して、以下の包含関係を満たす要素 $N \in \mathcal{N}$ が存在する： $$x \in N \subset f^{-1}(V)$$ この包含関係の各辺を、写像 $f$ により $Y$ へ送る（像をとる）。単調性より以下が成り立つ： $$f(\{x\}) \subset f(N) \subset f(f^{-1}(V))$$ ここで、$f(\{x\}) = \{f(x)\} = \{y\}$ である。また、集合論の一般的な性質として、任意の写像 $f$ と終域の部分集合 $V$ に対して $f(f^{-1}(V)) \subset V$ が成り立つ。したがって、 $$y \in f(N) \subset V$$ が得られる。

定義より $f(N) \in \mathcal{M}$ であるから、任意の $y \in V$ に対して $y \in M \subset V$ となる $M \in \mathcal{M}$ が存在することが示された。ゆえに $\mathcal{M}$ は $Y$ の可算なネットワークであり、$Y$ は宇宙空間である。(証明終)

証明:
前半 ($X$ が宇宙空間ならば $C_p(X)$ も宇宙空間であることの証明):
$X$ は宇宙空間であるから、可算なネットワーク $\mathcal{N}$ を持つ。また、実数 $\mathbb{R}$ には可算な開基 $\mathcal{B}$ （例えば有理数を端点とする開区間の全体）が存在する。

各 $N \in \mathcal{N}$ と $B \in \mathcal{B}$ に対して、$C_p(X)$ の部分集合 $S(N, B)$ を次のように定義する： $$S(N, B) = \{ f \in C_p(X) \mid f(N) \subset B \}$$ このような集合からなる族を $\mathcal{S} = \{ S(N, B) \mid N \in \mathcal{N}, B \in \mathcal{B} \}$ とする。$\mathcal{N}$ と $\mathcal{B}$ はともに可算集合であるから、$\mathcal{S}$ も可算族である。
$\mathcal{S}$ の要素の有限個の共通部分として表される集合全体を $\mathcal{M}$ とする。$\mathcal{S}$ が可算であることから、その有限部分集合の全体から作られる $\mathcal{M}$ もまた可算族である。

この可算族 $\mathcal{M}$ が $C_p(X)$ のネットワークとなることを示す。任意の $f \in C_p(X)$ と、$f$ を含む $C_p(X)$ の任意の開集合 $U$ をとる。各点収束位相の定義より、$U$ は基本開集合を含んでおり、ある有限個の点 $x_1, \dots, x_k \in X$ と $\mathbb{R}$ の開集合 $W_1, \dots, W_k$ を用いて以下のように仮定してよい： $$f \in \{ g \in C_p(X) \mid g(x_i) \in W_i \text{ for } i=1, \dots, k \} \subset U$$ $f(x_i) \in W_i$ であり、$W_i$ は開集合であるから、$\mathcal{B}$ が $\mathbb{R}$ の開基であることより、ある $B_i \in \mathcal{B}$ が存在して $$f(x_i) \in B_i \subset W_i$$ を満たす。$f$ は連続関数であるから、$f^{-1}(B_i)$ は $X$ における開集合であり、当然 $x_i \in f^{-1}(B_i)$ を満たす。
$\mathcal{N}$ は $X$ のネットワークであるから、点 $x_i$ と開近傍 $f^{-1}(B_i)$ に対して、ある $N_i \in \mathcal{N}$ が存在して $$x_i \in N_i \subset f^{-1}(B_i)$$ が成り立つ。これは $f(N_i) \subset B_i$ であることを意味するため、定義より $f \in S(N_i, B_i)$ である。

ここで、$M = \bigcap_{i=1}^k S(N_i, B_i)$ とおく。構成より $M \in \mathcal{M}$ であり、すべての $i$ について $f \in S(N_i, B_i)$ であるから、$f \in M$ が成り立つ。
さらに、任意の $g \in M$ をとると、すべての $i=1, \dots, k$ について $g(N_i) \subset B_i$ が成り立つ。$x_i \in N_i$ であるから、$g(x_i) \in B_i \subset W_i$ となる。したがって $g \in U$ であり、$M \subset U$ が示された。
以上より、$f \in M \subset U$ となる $M \in \mathcal{M}$ が存在するため、$\mathcal{M}$ は $C_p(X)$ の可算ネットワークであり、$C_p(X)$ は宇宙空間である。

後半 ($C_p(X)$ が宇宙空間ならば $X$ も宇宙空間であることの証明):
$C_p(X)$ が宇宙空間であると仮定する。前半の証明において、$X$ が Tychonoff 空間であるという条件は一切使用しなかったため、位相空間 $C_p(X)$ に対して前半の結果を再び適用することができる。すなわち、$C_p(X)$ が宇宙空間ならば、その連続関数空間である $C_p(C_p(X))$ もまた宇宙空間である。

ここで、写像 $e: X \to C_p(C_p(X))$ を次のような評価写像 (evaluation map) として定義する： $$e(x)(f) = f(x) \quad (x \in X, f \in C_p(X))$$ $X$ が Tychonoff 空間であるという仮定から、この評価写像 $e$ は位相的埋め込み (topological embedding) となることが知られている。すなわち、$X$ は $C_p(C_p(X))$ の部分空間 $e(X)$ と同相である。

$C_p(C_p(X))$ は宇宙空間であり、補題 1 より宇宙空間の任意の部分空間は宇宙空間である。したがって、その部分空間 $e(X)$ は宇宙空間である。$X$ は $e(X)$ と同相であるから、$X$ もまた宇宙空間である。(証明終)